Music Hub › Gidsen › Theorie en harmonie › De intervallen: benoemen, herkennen en construeren

Het systeem dat iedereen gebruikt zonder het ooit te benoemen

Een gids uit dit corpus legt uit hoe je tertsen opstapelt om een septiemakkoord te bouwen. Een andere legt uit waarom een vocale harmonie in terts of sext boven een melodie gezongen wordt in plaats van op eender welke afstand. Een derde bouwt een majeurtoonladder op, halve toon na halve toon, trap na trap, en een vierde transponeert een heel akkoordenschema langs een kwintencirkel. Ze hanteren allemaal voortdurend intervallen, zonder ooit stil te staan om te zeggen wat een interval eigenlijk is: ze veronderstellen dat de lezer al in staat is een terts of een kwint te herkennen, en bouwen hun eigen onderwerp boven op dat als vanzelfsprekend beschouwde vermogen. Deze gids is die ontbrekende bouwsteen, degene die geen van de andere neerlegt omdat elk van hen ze al voor vanzelfsprekend houdt.

Een interval meet de afstand tussen twee noten, en die naam is in werkelijkheid opgebouwd uit twee onafhankelijke gegevens in plaats van één. Het eerste is een nummer, secunde, terts, kwart, kwint, sext, septiem of octaaf, dat telt hoeveel trappen van de toonladder de twee noten scheiden, op de eenvoudigst denkbare manier: door de nootnamen te tellen. Het tweede is een kwaliteit, rein, groot, klein, overmatig of verminderd, die de exacte afstand in halve tonen preciseert zodra dat nummer vastligt. Beide worden altijd samen gelezen, nooit het ene zonder het andere: enkel 'een terts' zeggen zonder groot of klein te preciseren, laat de helft van de informatie ontbreken, net zoals enkel 'groot' zeggen zonder te preciseren om welk nummer het gaat.

Dit vocabulaire op twee niveaus, nummer plus kwaliteit, is precies wat elke naburige gids in dit corpus gebruikt zonder het te benoemen: een terts op een andere gestapeld om een akkoord te vormen, een sext gekozen om een stem te harmoniseren, een hele of een halve toon om een toonladder trap na trap op te bouwen. Deze gids herbouwt geen van die toepassingen; hij legt het systeem vast dat ze allemaal mogelijk maakt. Hoe je een interval in halve tonen telt, hoe je het benoemt vanuit de nootnamen in plaats van enkel het aantal halve tonen, waarom bepaalde kwaliteiten maar voor bepaalde nummers bestaan, hoe je het omkeert, wat de frequentieverhoudingen en het gehoor zelf over de consonantie ervan zeggen, waarom de tritonus in dit verhaal een aparte plaats inneemt, hoe een overmatige kwart en een verminderde kwint op dezelfde toets kunnen vallen zonder ooit hetzelfde aan te duiden, hoe je die afstanden herkent zonder er in cijfers over na te denken, en wat er gebeurt zodra het octaaf overschreden is: elk van deze vragen krijgt zijn eigen sectie, in deze volgorde.

Tellen in halve tonen: de regel die voor alle intervallen geldt

Voor je iets kunt benoemen, heb je een regel nodig. Op een pianoklavier, net als op een gitaarhals, wordt het octaaf verdeeld in twaalf gelijke afstanden, halve tonen genoemd: C, Cis, D, Dis, E, F, Fis, G, Gis, A, Ais, B, en terug naar C een octaaf hoger. Een hele toon, de iets ruimere eenheid die je in majeur- en mineurtoonladders tegenkomt, is exact twee halve tonen waard. Het is deze verdeling in twaalf delen, en zij alleen, die als graadmeter dient voor alles wat deze gids gaat benoemen: een interval, welke naam het uiteindelijk ook krijgt, wordt eerst gemeten door te tellen hoeveel van deze twaalf vakjes de vertreknoot van de aankomstnoot scheiden.

Deze verdeling in twaalf is geen universele vanzelfsprekendheid: andere muzikale tradities, in India of in de Arabische wereld bijvoorbeeld, verdelen het octaaf anders, met fijnere afstanden dan de westerse halve toon. Het systeem dat deze gids beschrijft, is dat van de westerse muziek zoals de Music Hub die speelt, op een getemperd klavier met twaalf gelijke halve tonen, een historische keuze die verderop in deze gids toegelicht wordt, eerder dan een onveranderlijke natuurwet.

Halve tonen tellen levert een ruw getal op, van nul, wanneer de twee noten identiek zijn, tot twaalf, wanneer ze een volledig octaaf uit elkaar liggen. Maar dat ruwe getal volstaat niet om een interval te benoemen: twee intervallen die exact hetzelfde aantal halve tonen tellen, kunnen volledig verschillende namen dragen naargelang de nootnamen die gebruikt worden om ze te noteren, wat de volgende sectie uitlegt. Alleen het aantal halve tonen onthouden, zonder de bijbehorende benoemingsregel, is de reflex die wie met deze theorie begint het vaakst op een dwaalspoor brengt, en dat is het onderwerp van de eerste valkuil die aan het eind van deze gids opgesomd wordt.

Een interval benoemen: het nummer telt de letters, niet de halve tonen

Het nummer van een interval, secunde, terts, kwart en zo verder, wordt nooit berekend door halve tonen te tellen: het wordt berekend door nootnamen te tellen, op een inclusieve manier, dat wil zeggen door de vertreknoot zelf als eerste stap mee te tellen. Van C naar D zijn twee letters betrokken, C en D: dat is een secunde. Van C naar E, drie letters, C, D en E: dat is een terts. Van C naar G, vijf letters: dat is een kwint. Op dit punt maakt het niet uit of de aankomstnoot een kruis of een mol draagt: D, Dis of Des blijven elk een secunde boven C, omdat de letter in alle drie de gevallen D blijft. Pas zodra dat nummer vastligt, komt de eventuele voortekening de exacte kwaliteit van het interval preciseren, een vraag die in de volgende sectie behandeld wordt.

Deze regel heeft een gevolg dat bijna iedereen de eerste keer verrast: twee intervallen die hetzelfde aantal halve tonen tellen, kunnen verschillende nummers dragen, en omgekeerd kunnen twee intervallen met hetzelfde nummer een verschillend aantal halve tonen tellen. C naar Dis telt drie halve tonen; C naar Es telt eveneens drie halve tonen, precies dezelfde hoorbare afstand op een piano gestemd in gelijkzwevende stemming. Toch is C-Dis een secunde, want D blijft de tweede letter na C, terwijl C-Es een terts is, want E is de derde letter. Beide worden op dezelfde toetsen gespeeld, maar een muzikant die een partituur leest, verwart ze nooit, omdat de naam op de notenbalk al aankondigt, nog voor de eerste noot gespeeld is, of de melodische lijn op het punt staat twee letters of drie te overbruggen.

Dat onderscheid is geen kwestie van puristische spitsvondigheid: het draagt de nuttigste informatie om te anticiperen waar een muzikale zin naartoe gaat. Een secunde kondigt een stapsgewijze beweging aan, de buurnoot op de notenbalk; een terts kondigt een beweging aan die een letter overslaat. Alleen het aantal halve tonen lezen komt erop neer dat je die anticipatie verliest, terwijl de volledige naam van een interval ze gratis meegeeft, alleen al door ze te lezen. Het internationale letterschrift, A B C D E F G — hetzelfde schrift dat deze gids gebruikt — werkt volgens exact dezelfde telsystematiek als het Franse solfège Do Ré Mi; de Music Hub-gids over de notennamen werkt die overstap van het ene alfabet naar het andere in detail uit voor wie ze allebei moet kunnen lezen.

De vijf kwaliteiten, en waarom ze niet allemaal op alle intervallen van toepassing zijn

Zodra het nummer door het tellen van de letters vastligt, preciseert de kwaliteit de exacte afstand in halve tonen binnen dat nummer. Het systeem telt er vijf: rein, groot, klein, overmatig en verminderd. Maar in tegenstelling tot wat je zou verwachten, combineren deze vijf woorden zich niet vrij met de zeven nummers: een kwart heet nooit groot of klein, een terts heet nooit rein. Die beperking is niet willekeurig, ze komt rechtstreeks voort uit de majeurtoonladder zelf, de mal waarop het hele kwaliteitensysteem gebouwd is.

Op de C-majeurtoonladder, zonder enige voortekening, levert het interval tussen de tonica en elk van de zeven andere trappen standaard maar één kwaliteit op: de prime, de kwart, de kwint en het octaaf komen er rein uit; de secunde, de terts, de sext en de septiem komen er groot uit. De kleine kwaliteit krijg je door een van die laatste vier een halve toon te verlagen, nooit een van de eerste vier: een kwart die een halve toon verlaagd wordt, wordt geen 'kleine kwart', een woord dat in het systeem niet bestaat, ze wordt een verminderde kwart, dezelfde verandering die een andere naam draagt naargelang de vertrekfamilie.

Deze breuklijn tussen de twee families gaat terug op de middeleeuwse en renaissancistische consonantieleer, die toen al de volmaakte consonanten, de prime, de kwart, de kwint en het octaaf, onderscheidde van de onvolmaakte consonanten, de tertsen en de sexten. Het woord 'rein' is een rechtstreekse erfenis van dat oude vocabulaire: het duidt een interval aan waarvan de frequentieverhouding, verderop in deze gids toegelicht, zo eenvoudig is dat ze traditioneel geen enkele kleurdubbelzinnigheid, groot of klein, toelaat, in tegenstelling tot een terts of een sext, die wel duidelijk van karakter veranderen naargelang hun exacte grootte. De status van de kwart heeft trouwens lang ter discussie gestaan binnen diezelfde classificatie: in de dertiende eeuw vormden de kwart en de kwint samen wat de theoretici de concordantiae mediae noemden, de middelste consonanten, tussen de prime en het octaaf aan de ene kant, de tertsen en sexten aan de andere; vervolgens wordt de kwart, in de vijftiende eeuw, behandeld als een dissonant wanneer ze alleen klinkt, een oordeel dat de Vlaamse theoreticus Johannes Tinctoris in 1473 zwart op wit stelt, in zijn Terminorum musicae diffinitorium. De moderne theorie heeft die nuance grotendeels gladgestreken door de kwart zonder voorbehoud bij de reine intervallen te rekenen, maar het spoor van dat oude debat verklaart waarom ze vandaag nog altijd een lichtjes aparte behandeling vereist in de meerstemmige zetting.

Overmatig en verminderd, ten slotte, zijn niet aan één enkele familie voorbehouden: eender welk rein, groot of klein interval kan met een extra halve toon verruimd worden om overmatig te worden, of met een halve toon versmald worden om verminderd te worden. Een grote terts die een halve toon verruimd wordt, wordt een overmatige terts; een reine kwint die een halve toon versmald wordt, wordt een verminderde kwint. Die twee kwaliteiten zijn dus, in theorie, op alle zeven nummers zonder uitzondering van toepassing, wat verklaart waarom de volgende tabel, die de twaalf halve tonen van het octaaf op de grondtoon C opsomt, op een en dezelfde middelste halve toon twee verschillende namen laat zien: het onderwerp van een hele sectie verderop in deze gids.

Deze tabel geeft de identiteitskaart van elk enkelvoudig interval, van het dichtst bij de prime tot het dichtst bij het octaaf, met zijn historische consonantieklasse die uit de vorige paragraaf voortvloeit. Ze dient als referentie voor de rest van deze gids, precies zoals de formule van de majeurtoonladder als referentie dient voor een naburige gids in dit corpus: eenmaal deze tabel in het hoofd, laat elk interval dat je elders tegenkomt, in een akkoord, een vocale harmonie of een toonladder, zich identificeren zonder herberekening.

Een interval omkeren: de regel van 9

Een interval omkeren betekent de laagste noot naar het octaaf erboven laten gaan, of de hoogste naar het octaaf eronder, zodat wordt omgekeerd welke van de twee noten onder de andere klinkt. Een terts van C naar E wordt, door C naar het octaaf erboven om te keren, een interval van E naar C: dat is geen terts meer maar een sext. Dit eenvoudige mechanisme gehoorzaamt aan een vaste rekenkundige regel, bekend als de regel van 9: het nummer van een interval en het nummer van zijn omkering tellen altijd op tot 9. Een secunde keert om in een septiem, twee plus zeven is negen; een terts keert om in een sext, drie plus zes is negen; een kwart keert om in een kwint, vier plus vijf is negen; een prime keert om in een octaaf, een plus acht is negen.

Deze regel komt rechtstreeks voort uit de structuur van de toonladder met zeven letters, waarbij het octaaf de cyclus op de achtste sluit. Van de lage noot tot haar octaaf tellen, beide uiteinden meegerekend, levert altijd acht stappen op. De 9 komt van wat er daarna gebeurt, en het loont de moeite om dat één keer te doorzien zodat je de regel nooit meer dom hoeft te onthouden: het begininterval en zijn omkering tellen allebei de noot die ze gemeen hebben, die in het midden, die de top van het ene en de basis van het andere is. Ze wordt dus twee keer meegeteld. Acht stappen, plus die dubbel getelde noot, en het totaal is negen. Negen min het nummer van het begininterval levert dan rechtstreeks het nummer van de omkering op, zonder dat je de letters een tweede keer moet natellen. Dat is een rekenkortere weg, geen op zichzelf staand numeriek toeval.

Ook de kwaliteit keert om volgens een vaste regel, en die tweede regel is minstens even nuttig om te onthouden als die van de nummers. Een rein interval blijft rein na omkering: de reine kwart keert om in een eveneens reine kwint. Een groot interval wordt klein, en een klein interval wordt groot: een grote terts keert om in een kleine sext, een kleine terts keert om in een grote sext. Een overmatig interval wordt verminderd, en een verminderd interval wordt overmatig: een overmatige kwart keert om in een verminderde kwint, wat rechtstreeks aansluit bij het onderwerp van de tritonus dat verderop in deze gids behandeld wordt.

Twee fouten begeleiden bijna altijd het aanleren van deze regel. De eerste bestaat erin het nummer om te keren zonder de kwaliteit om te keren, of omgekeerd: de twee bewerkingen gebeuren altijd samen, nooit de ene zonder de andere, omdat ze dezelfde transformatie beschrijven, bekeken vanuit twee verschillende hoeken. De tweede bestaat erin omkering en transpositie te verwarren: een interval omkeren verandert geen van beide noten, alleen hun positie van het ene octaaf naar het andere verandert, terwijl transponeren de twee noten samen naar een nieuwe hoogte verplaatst met behoud van hetzelfde begininterval. De omkering zelf verandert het interval letterlijk in een ander, met een nummer en een kwaliteit die verschillen van het vertrekpunt.

Waarom sommige intervallen consonant klinken: van Pythagorische verhoudingen tot de kritieke bandbreedte

De westerse muziektheorie heeft al vroeg geprobeerd om met getallen te verklaren waarom sommige intervallen stabiel klinken en andere gespannen. De traditie schrijft aan de Pythagorische school, in Griekenland, rond de zesde eeuw voor onze tijdrekening, de eerste systematische beschrijving toe van de meest stabiele consonanten door frequentieverhoudingen tussen eenvoudige gehele getallen: het octaaf komt overeen met een verhouding van twee tegen een, de reine kwint met een verhouding van drie tegen twee, de reine kwart met een verhouding van vier tegen drie. Hoe kleiner de twee getallen van de verhouding, hoe consonanter het overeenkomstige interval lange tijd beoordeeld werd, een hiërarchie die vrij dicht aansluit bij, maar niet perfect samenvalt met, het moderne onderscheid tussen volmaakte en onvolmaakte consonanten dat in de sectie over de kwaliteiten aan bod kwam.

Deze constructie door het stapelen van reine kwinten, al sinds de Oudheid gehanteerd, loopt echter tegen een rekenkundig probleem aan dat een naam draagt, de Pythagorische komma. Twaalf reine kwinten op elkaar stapelen, elk in de exacte verhouding van drie tegen twee, komt nooit helemaal precies uit op zeven volledige octaven: het verschil, piepklein maar wel degelijk reëel, bedraagt een verhouding van 531.441 tegen 524.288, ofwel ongeveer 23,5 cent, bijna een kwart van een halve toon. Die kleine afwijking is geenszins een rekenfout: het is een onontkoombare wiskundige eigenschap van het systeem, die de klavierbouwers en -theoretici eeuwenlang heeft beziggehouden voor er een praktische oplossing doorbrak, degene die de volgende sectie onder de naam gelijkzwevende stemming uitwerkt.

Deze benadering via frequentieverhoudingen blijft ook vandaag geldig, maar de moderne psychoakoestiek heeft ze aangevuld met een verklaring die niets meer aan de gehele getallen alleen te danken heeft. In 1965 publiceren de Nederlandse onderzoekers Reinier Plomp en Willem Levelt een dissonantiemodel gebaseerd op het begrip kritieke bandbreedte, het frequentiebereik dat het oor als één enkel pakket behandelt in plaats van als twee afzonderlijke klanken. Twee frequenties die heel dicht bij elkaar liggen, binnen die band, veroorzaken een ruwe zweving die het oor als dissonant waarneemt; de ruwheid van die zweving, wat de twee onderzoekers de sensorische ruwheid noemen, bereikt haar hoogtepunt wanneer het verschil tussen de twee frequenties in de buurt komt van een kwart van de breedte van de kritieke band, en zakt vervolgens aan beide kanten van die top weer terug, naar nul wanneer de frequenties elkaar tot aan de prime naderen, en eveneens naar nul wanneer ze zich voorbij de band van elkaar verwijderen. Toegepast op complexe klanken, rijk aan boventonen zoals een stem of een echt instrument, en niet langer op twee geïsoleerde zuivere frequenties, laat dit model opnieuw dalen van minimale ruwheid verschijnen precies op de intervallen met de eenvoudigste frequentieverhoudingen, het octaaf, de kwint, de kwart, de tertsen: de fysiologie van het moderne oor sluit, via een compleet andere weg, aan bij de hiërarchie van gehele verhoudingen die de pythagoreeërs meer dan tweeduizend jaar eerder al hadden vastgelegd, enkel en alleen door trillende snaren te observeren.

Gelijkzwevende stemming tegenover reine stemming: het verborgen compromis achter elke toets

De Pythagorische komma die in de vorige sectie werd blootgelegd, vormt een heel concreet probleem voor elk instrument met vaste toonhoogtes, zoals een piano of een gefretteerde gitaar: als elke kwint in haar zuivere verhouding van drie tegen twee gestemd wordt, komt de twaalfde kwint van de cyclus nooit precies uit op het beginoctaaf, en klinken sommige toonsoorten duidelijk zuiverder dan andere, naargelang de plek in de cyclus waar je je bevindt. Eeuwenlang hebben verschillende stemsystemen geprobeerd dit lichte overschot ongelijk te verdelen, door de zuiverheid van enkele zelden gebruikte toonsoorten op te offeren om die van de meest gangbare toonsoorten te bewaren.

De oplossing die uiteindelijk vrijwel overal ingang vond, draagt de naam gelijkzwevende stemming: het octaaf verdelen in twaalf strikt identieke halve tonen, elk in een frequentieverhouding gelijk aan de twaalfde-machtswortel van twee, zodat geen enkele kwint, geen enkele terts, geen enkel interval behalve het octaaf zelf nog helemaal zuiver is, maar de twaalf toonsoorten in ruil daarvoor exact even zuiver of even vals worden als elkaar. Deze wiskundige oplossing is niet in één land ontstaan: ze wordt, een generatie na elkaar en volledig onafhankelijk van elkaar, beschreven door de Chinese wiskundige en prins Zhu Zaiyu, in een verhandeling gepubliceerd in 1584, en vervolgens door de Vlaamse wiskundige Simon Stevin, in een onafgewerkt gebleven manuscript, Van de Spiegheling der Singconst, geschreven rond 1605 en pas in 1884 gepubliceerd, drie eeuwen na zijn dood, zonder dat een van beiden het werk van de ander kende.

Om de reine stemming, gebaseerd op exacte gehele verhoudingen, en de gelijkzwevende stemming, gebaseerd op die strikt uniforme verdeling, objectief te vergelijken, gebruikt de muziektheorie sinds het eind van de negentiende eeuw een eenheid die de cent heet: een logaritmische verdeling van het octaaf in 1200 gelijke delen, honderd cent per halve toon, ingevoerd in 1885 door de Britse foneticus Alexander John Ellis, in de appendix bij zijn geannoteerde vertaling van de verhandeling van Hermann von Helmholtz over de toongewaarwordingen. In cent uitgedrukt, worden de verschillen tussen de twee systemen meteen afleesbaar, ook voor een oor dat ze niet bewust hoort.

Deze tabel toont een feit dat vaak verrast: het octaaf is het enige interval dat de gelijkzwevende stemming zonder het minste compromis reproduceert, exact 1200 cent in beide systemen, want dat is precies de enige beperking die de berekening van de twaalfde-machtswortel van twee moest bewaren, letterlijk. Alle andere intervallen wijken enkele cent af van hun reine versie, de kwint en de kwart bijna onmerkbaar, amper twee cent, de tertsen en de sexten duidelijker, dertien tot zestien cent, een verschil dat een oor dat op reine stemming getraind is, dat van een strijkkwartet of een a-cappella-vocaalensemble bijvoorbeeld, daadwerkelijk kan waarnemen op een pas gestemde piano. Geen van beide systemen is 'meer waar' dan het andere: de reine stemming maximaliseert de zuiverheid van elk interval afzonderlijk, ten koste van ongelijke toonsoorten, terwijl de gelijkzwevende stemming elk interval licht opoffert om te garanderen dat alle toonsoorten even goed speelbaar blijven op één en hetzelfde vaste klavier, een compromis dat precies is wat het mogelijk maakt om zonder onderscheid in eender welke toonsoort te spelen zonder het instrument tussen twee nummers opnieuw te stemmen.

De tritonus: het interval dat het octaaf in twee snijdt, en de legende van de diabolus in musica

Van de twaalf halve tonen van het octaaf neemt er maar één een volstrekt centrale positie in: zes halve tonen, exact de helft van het octaaf, een evenwichtspunt zo strikt dat in de gelijkzwevende stemming de overmatige kwart en haar omkering, de verminderde kwint, precies op dezelfde waarde van 600 cent uitkomen, zonder het minste verschil tussen beide, een symmetrie die eigen is aan dit interval en aan dit interval alleen in het hele systeem. Het is deze exacte verdeling van het octaaf in twee identieke helften die de tritonus, zijn gangbare naam, zijn reputatie van meest instabiele interval van het systeem oplevert: noch de richting, noch de bestemming van de beweging wordt gesuggereerd door de loutere symmetrie van de afstand, wat verklaart waarom hij bijna altijd om een oplossing vraagt naar een stabieler interval, meestal de terts of de sext, in plaats van op zichzelf te rusten.

Die heel reële instabiliteit heeft een hardnekkige legende doen ontstaan, vandaag nog altijd breed overgenomen in het muziekonderwijs: die van een tritonus die door de middeleeuwse Kerk verboden zou zijn, onder de naam diabolus in musica, de duivel in de muziek. Onderzoek van de bronnen bevestigt dit verhaal niet. Volgens de Harvard-musicoloog Thomas Forrest Kelly koppelt geen enkele bekende middeleeuwse bron de tritonus aan de duivel; de eerste schriftelijke vermeldingen van de uitdrukking dateren pas uit de achttiende eeuw. De Duitse organist en theoreticus Andreas Werckmeister citeert de formule al in 1702 als naar zijn zeggen een reeds oud gebruik, de Oostenrijkse componist Johann Joseph Fux schrijft ze in 1725 zwart op wit in zijn contrapuntverhandeling Gradus ad Parnassum, in de vorm 'mi contra fa est diabolus in musica', en de Duitse componist Johann Mattheson schrijft in 1739 dat 'de oude zangers dit interval mi contra fa noemden, of de duivel in de muziek'. Geen van deze drie bronnen dateert uit de Middeleeuwen zelf.

Wat de Middeleeuwen wél degelijk meden, is daarentegen het interval zelf, om redenen die veel praktischer dan theologisch waren. De Italiaanse monnik en theoreticus Guido van Arezzo bouwt, aan het prille begin van de elfde eeuw, zijn solmisatiesysteem met hexachorden zo op dat precies de ontmoeting tussen F en B vermeden wordt, door een Bes toe te staan die het hexachord afsluit zonder ooit die tritonus te vormen, zonder echter zelf ooit het woord diabolus te gebruiken. De werkelijke moeilijkheid lag bij de zuiverheid: een zo instabiel interval, zonder eenvoudig consonantie-ijkpunt om het oor van de zanger te leiden, was gewoonweg moeilijk zuiver a cappella te zingen, een technische beperking van de koorpraktijk eerder dan een geformaliseerd religieus verbod.

Diezelfde tritonus geldt vandaag niet meer als een schrikbeeld: hij is integendeel een van de meest gebruikte motoren van de tonale harmonie, aanwezig tussen de terts en de septiem van elk dominantseptiemakkoord, waar zijn spanning mechanisch om de oplossing naar het volgende akkoord vraagt, een mechanisme dat een andere gids in dit corpus over septiemakkoorden in detail behandelt. De legende van zijn middeleeuwse verbanning is taai gebleken precies omdat de instabiliteit die ze beschrijft wel degelijk reëel is: alleen de religieuze verklaring van die instabiliteit behoort tot de mythe, niet de instabiliteit zelf.

Een overmatige kwart, een verminderde kwint: dezelfde toetsen, verschillende functies

De regel van de letterbenoeming, eerder in deze gids vastgelegd, levert een resultaat op dat bijna iedereen de eerste keer in de war brengt: twee intervallen die identiek klinken op een piano of een gitaar kunnen twee volledig verschillende namen dragen naargelang de noot die gekozen wordt om ze te noteren. De tritonus levert daarvan het duidelijkste voorbeeld van het hele systeem. Vanaf C leidt een overmatige kwart omhoog naar Fis: C, D, E, F vormen de vier letters van een kwart, en het kruis voegt de halve toon toe die haar verruimt. Vanaf datzelfde C leidt een verminderde kwint omhoog naar Ges: C, D, E, F, G vormen de vijf letters van een kwint, en de mol haalt de halve toon weg die haar versmalt. Fis en Ges vallen op exact dezelfde zwarte toets van de piano, in beide gevallen zes halve tonen van C, en toch heet de ene overmatige kwart, de andere verminderde kwint: twee intervallen die qua naam verschillen, identiek qua klank, een verschijnsel dat de theorie enharmoniek noemt.

Dat naamverschil is geen willekeurige notatiekeuze die aan het toeval of de gewoonte van de componist wordt overgelaten: het draagt informatie over de verwachte richting van de melodische beweging, een conventie die rechtstreeks geërfd is van de klassieke meerstemmige zetting. Een overmatig interval heeft van nature de neiging zich nog verder te verruimen, naar buiten toe op te lossen: de Fis trekt, als overmatige kwart boven C, naar boven, in de richting van de G die er een halve toon op volgt, zoals een plaatselijke leidtoon die het oor naar de volgende trap van de toonladder trekt. Een verminderd interval heeft, omgekeerd, van nature de neiging zich nog verder te versmallen, naar binnen toe op te lossen: de Ges trekt, als verminderde kwint boven C, naar beneden, in de richting van de F die eraan voorafgaat op een halve toon. Dezelfde zwarte toets van de piano draagt zo twee strikt tegengestelde oplossingsrichtingen naargelang de naam die men eraan geeft, en het is precies die richtinginformatie, onhoorbaar voor het oor alleen maar expliciet op een partituur, die de naamkeuze verondersteld wordt over te dragen.

Diezelfde logica keert, in negatief, terug in de meest bijzondere eigenschap van het verminderde septiemakkoord, uitgewerkt in de gids van dit corpus over de sus-, verminderde en overmatige akkoorden: omdat dit akkoord het octaaf in vier strikt gelijke kleine tertsen verdeelt, kan elk van zijn vier noten, naargelang de context, genoteerd worden en functioneren als grondtoon, wat zijn mogelijkheden tot oplossing naar verschillende toonsoorten vermenigvuldigt. De tritonus doet exact hetzelfde op een bescheidener schaal, met twee noten in plaats van vier: één en hetzelfde paar toetsen, twee namen, twee mogelijke oplossingsrichtingen, en het is die functionele, niet alleen akoestische, dubbelzinnigheid die verklaart waarom componisten hem al eeuwenlang als modulatiespil gebruiken, lang voor de jazzharmonie het gebruik ervan onder de naam tritonussubstitutie veralgemeende.

Een interval op het gehoor herkennen, zonder schema of liedje

Een interval op papier benoemen volstaat niet om het te herkennen midden in een nummer: de theorie die in de vorige secties werd neergezet, wordt pas een bruikbaar werktuig zodra ze gekoppeld wordt aan een klankreferentie die eens en voor altijd onthouden is, zonder dat je elke keer opnieuw halve tonen moet tellen. Het principe blijft altijd hetzelfde: koppel elk interval aan een vertrouwd motief dat precies met die afstand begint, en haal dat motief dan uit het geheugen zodra een onbekend interval zich aandient, in plaats van te proberen het in het absolute te horen.

De reine kwart en de reine kwint, na het octaaf de twee meest gebruikte reine intervallen, worden vaak herkend dankzij een instrument dat ze fysiek oplegt: een hoorn of een natuurlijke klaroen, zonder ventielen of trekschuif, kan alleen de noten van de boventoonreeks van zijn buis voortbrengen, en de allereerste beschikbare afstanden in die reeks, voor de trappen zich tot secundes versmallen, zijn precies een octaaf, dan een kwint, dan een kwart. Precies om die akoestische reden springen militaire signalen en traditionele hoornroepen, gebouwd op enkel die beschikbare noten, bijna altijd een kwart of een kwint in plaats van stapsgewijs te bewegen: de hoorn laat hun in zijn lage register geen andere keuze. Een tweetonige sirene, van het type dat sommige hulpdienstvoertuigen gebruiken, wisselt op zijn beurt doorgaans tussen twee vrij dicht bij elkaar liggende noten, vaak in de orde van een secunde of een terts naargelang het model, een goed ijkpunt voor het oor zodra je weet dat het om een klein en herhaald interval gaat in plaats van een grote sprong.

De grote secunde, het kleinste interval dat stapsgewijs vooruitgaat in een majeurtoonladder, hoor je het eenvoudigst in de toonladder zelf, noot voor noot gespeeld, stijgend of dalend: elke stap van die ladder is, op twee uitzonderingen na die uitgewerkt worden in de gids van dit corpus over de majeur- en mineurtoonladders, precies een grote of kleine secunde. Een hymne uit het publieke domein zoals Beethovens Ode aan de Vreugde, die pas lang na haar compositie in 1824 tot Europees symbool uitgroeide, opent met een melodie die bijna uitsluitend in die kleine stapsgewijze passen vooruitgaat, een uitstekend oefenterrein voor het oor voor je je aan grotere sprongen waagt.

Voor de terts en de sext daalt een gewone tweetonige deurbel, heel gangbaar op voordeuren, meestal een terts, groot of klein naargelang het model: een huiselijk ijkpunt, beschikbaar zonder instrument, om de kleur van die afstand vast te leggen. De stijgende grote sext, ruimer en minder spontaan om in één keer zuiver te zingen, train je goed aan de hand van een zeer oude traditionele melodie die populair werd in vakantiekolonies en Engelstalige scoutsbewegingen, en die opent met precies deze sprong voordat ze weer stapsgewijs daalt.

De stijgende reine kwint, naast de al genoemde hoorn, herken je ook in de opening van een symfonisch gedicht van Richard Strauss, gecomponeerd in 1896 en in 1968 bij een heel ander publiek populair geworden toen een filmregisseur er de openingstitels van zijn bekendste sciencefictionfilm van maakte: twee noten gescheiden door een kwint, gevolgd door een kwart die het octaaf sluit, een verloop dat in één keer even goed helpt om de kwint als de kwart te onthouden. De tritonus ten slotte herken je eerder aan zijn kenmerkende instabiliteit dan aan een precies motief: een filmmuziekcomponist bouwde in 1975 een van de meest herkenbare motieven van de cinema op een naburig interval, twee noten die afwisselen op een enkele halve toon afstand, de kleine secunde, een van de meest dissonante afstanden van het systeem naast de tritonus, voor een spanningseffect dat bijna fysiek aanvoelt vanaf de eerste twee noten.

Geen van deze ijkpunten vervangt herhaalde training: het absolute gehoor, in staat om een interval te benoemen zonder enig vergelijkingspunt, blijft zeldzaam, maar het relatieve gehoor, dat een afstand herkent door ze mentaal te vergelijken met een onthouden motief, is op elke leeftijd te trainen en volstaat ruimschoots om een nummer op het gehoor te begeleiden, te harmoniseren of te transponeren.

Voorbij het octaaf: de samengestelde intervallen

Niets verplicht een interval om binnen één enkel octaaf te blijven: twee noten kunnen evengoed anderhalf octaaf, twee octaven, of eender welke nog grotere afstand uit elkaar liggen. Voorbij het octaaf zet het benoemingssysteem zich exact voort volgens dezelfde telsystematiek per letter, zonder dat de regel ook maar iets verandert: je blijft gewoon de trappen tellen voorbij de achtste. Een none herneemt het nummer van de secunde en voegt er een volledig octaaf aan toe; een decime herneemt dat van de terts; een undecime dat van de kwart; een tredecime dat van de sext. De algemene regel vat zich samen in één rekenkundige bewerking: zeven optellen bij het nummer van het overeenkomstige enkelvoudige interval, of, wat op hetzelfde neerkomt, een volledig octaaf optellen bij zijn hoogte.

Deze samengestelde intervallen delen de kwaliteit van het enkelvoudige interval waarvan ze afgeleid zijn: een grote none heeft dezelfde kwaliteit als een grote secunde, gewoon een octaaf hoger getransponeerd, een kleine tredecime heeft dezelfde kwaliteit als een kleine sext. Wat verandert, is dus nooit de intrinsieke kleur van de afstand, alleen haar omvang: een none klinkt opener, luchtiger dan een secunde die binnen één enkel octaaf samengeperst is, precies zoals een breed uitgespreid akkoord anders klinkt dan datzelfde akkoord dicht opeengepakt in enge positie, terwijl beide strikt dezelfde noten bevatten.

Deze nummering voorbij zeven is geen loutere rekenoefening die aan theoretici voorbehouden is: het is precies het vocabulaire dat de notatie van verrijkte akkoorden leent om de noten te benoemen die ze toevoegt voorbij de septiem, none, undecime en tredecime, zonder die noten ooit te hernummeren alsof het maar gewone secundes, kwarten of sexten waren die binnen het octaaf teruggebracht zijn. Deze gids gaat niet in op de constructie van die verrijkte akkoorden, een onderwerp op zich dat behandeld wordt in de gidsen van dit corpus over septiemakkoorden en over de sus-, verminderde en overmatige akkoorden; hij legt alleen de bouwsteen die hun naam leesbaar maakt: waarom een none none heet en geen secunde, terwijl de gespeelde noot, eenmaal binnen een octaaf teruggebracht, precies een secunde is.

De onzichtbare draad: waar dit systeem elders in de hub terugkeert

Eenmaal dit vocabulaire vastligt, nummer, kwaliteit, halve tonen, omkering, wordt het overal elders in dit corpus zichtbaar, ook al staat geen enkele andere gids stil om het te benoemen. De majeurtoonladder en haar drie mineurvormen, beschreven in de gids van dit corpus over de toonladders voor beginners, zijn niets anders dan een vaste opeenvolging van grote en kleine secundes die trap na trap gestapeld worden: de formule heel-heel-halve toon die ze definieert, is een intervalformule, uitgedrukt in het vocabulaire dat hier is neergezet. Een septiemakkoord, of het nu een dominant-, majeur- of mineurseptiem is, stapelt drie tertsen op elkaar boven een grondtoon, zoals de aan die akkoorden gewijde gids in detail uitwerkt; de sus-, verminderde en overmatige akkoorden vervangen, verruimen of versmallen een van die gestapelde tertsen om andere kleuren te krijgen. Een vocale harmonie op twee of drie stemmen kiest, noot na noot, tussen een terts en een sext boven of onder een al gezongen melodie, precies de twee intervallen die deze gids zonet benoemd en gemeten heeft.

De kwintencirkel, van haar kant, is nooit meer dan één en dezelfde bewerking twaalf keer na elkaar herhaald, een reine kwint op- of neergaan, wat er ongetwijfeld de zuiverste illustratie van maakt wat een enkelvoudig interval kan voortbrengen zodra het systematisch herhaald wordt: de twaalf majeurtoonsoorten en hun voortekens volgen er volledig uit, zonder dat ook maar één noot willekeurig gekozen wordt. Het internationale letterschrift, ten slotte, benoemt dezelfde zeven letters als het Franse solfège, in dezelfde volgorde, met dezelfde inclusieve telsystematiek die eerder in deze gids werd uitgewerkt om het nummer van een interval vast te leggen, ongeacht het alfabet dat gebruikt wordt om de vertreknoot te noteren.

Geen van deze gidsen blijft stilstaan bij dit gemeenschappelijke mechanisme, en precies daarom overlapt geen van hen met deze gids: elk gaat ervan uit dat de lezer al weet wat een terts of een kwint is, om zich te concentreren op wat je ermee doet, een akkoord, een harmonie, een toonladder, een cyclus van toonsoorten. Deze gids doet niet wat zij doen: hij benoemt, meet en verklaart de bouwsteen zelf, degene die alle andere lenen zonder ze ooit uit te pakken.

Veelgemaakte fouten

Ontdek in de Music Hub

Meer gidsen